連続リヤプノフ方程式の解 - MATLAB

構文

lyap
X = lyap(A,Q)
X = lyap(A,B,C)
X = lyap(A,Q,[],E)

説明

lyap は、特別な、または一般的なリヤプノフ方程式を解きます。リヤプノフ方程式は、システムの RMS 動作の安定性理論や調査など、さまざまな制御領域で使用されます。

X = lyap(A,Q) はリヤプノフ方程式を解きます

ここで A と Q は同じサイズの正方行列を表します。Q が対称行列の場合、解 X も対称行列になります。

X = lyap(A,B,C) は Sylvester 方程式を解きます

行列 A、B、C の次元は互換性がなければなりませんが、正方行列である必要はありません。

X = lyap(A,Q,[],E) は、一般化されたリヤプノフ方程式を解きます

二次キャリブレーションは線形よりも優れていながら、

Q は対称行列です。この関数には空の大かっこ [] を使用しなければなりません。かっこの中に値を入れると、エラーが発生します。

アルゴリズム

lyap は最初に行列 A と行列 B を複素 Schur 型に変換し、結果としてできる三角系の解を計算します。最後にこの解を逆変換します。[1]

lyap はリヤプノフ方程式に SLICOT ルーチン SB03MD および SG03AD を、Sylvester 方程式に SB04MD (SLICOT) と ZTRSYL (LAPACK) を使用します。

制限

固有値 A の と B の が以下の条件を満たすと、連続リヤプノフ方程式には固有な解ができます。

この条件に違反が生じると、lyap はエラー メッセージを生成します。

Solution does not exist or is not unique. 

例

例 1

リヤプノフ方程式を解く

ファクタリング7と8のルールは何ですか

リヤプノフ方程式

を解きます。ここで、

は次のとおりです。

行列 A は安定で、Q 行列は正定です。

A = [1 2; -3 -4];   Q = [3 1; 1 1]; X = lyap(A,Q)

これらのコマンドは、以下の X 行列を返します。

X =      6.1667   -3.8333    -3.8333    3.0000

固有値を計算して、その X が正定であることを確認できます。

eig(X)

コマンドは、次の結果を返します。

ans =      0.4359     8.7308

例 2

リヤプノフ方程式を解く

Sylvester 方程式

を解きます。ここで、

は次のとおりです。

A = 5; B = [4 3; 4 3]; C = [2 1]; X = lyap(A,B,C)

これらのコマンドは、以下の X 行列を返します。

どれだけ速く空気抵抗の非存在下での一枚が散るのではない

X =     -0.2000   -0.0500

参考文献

[1] Bartels, R.H. and G.W. Stewart, "Solution of the Matrix Equation AX + XB = C," Comm. of the ACM, Vol. 15, No. 9, 1972.

[2] Bryson, A.E. and Y.C. Ho, Applied Optimal Control, Hemisphere Publishing, 1975. pp. 328–338.

[3] Barraud, A.Y., "A numerical algorithm to solve A XA - X = Q," IEEE Trans. Auto. Contr., AC-22, pp. 883–885, 1977.

[4] Hammarling, S.J., "Numerical solution of the stable, non-negative definite Lyapunov equation," IMA J. Num. Anal., Vol. 2, pp. 303–325, 1982.

[5] Higham, N.J., "FORTRAN codes for estimating the one-norm of a real or complex matrix, with applications to condition estimation," A.C.M. Trans. Math. Soft., Vol. 14, No. 4, pp. 381–396, 1988.

[6] Penzl, T., "Numerical solution of generalized Lyapunov equations," Advances in Comp. Math., Vol. 8, pp. 33–48, 1998.

[7] Golub, G.H., Nash, S. and Van Loan, C.F., "A Hessenberg-Schur method for the problem AX + XB = C," IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, pp. 909–913, 1979.

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